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类比和对比法在不等式学习中的应用
作者:桂思强    文章来源:本站原创    点击数:785    更新时间:2015-7-4    
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类比和对比法是数学学习中常用的一种重要方法。类比是把两个(或两类)不同的数学对象进行比较,如果发现它们在某些方面有相似之处,那么就推断它们在其他方面也可能有相似之处的一种推理方法通过类比,可以发现新旧知识的相同点,利用已有的旧知识,来认识新知识.对比是通过比较,找出一事物区别其他事物的特点,通过对比可以找出差异,有助于进一步加深对新知识的理解.类比和对比这两种方法是相辅相成的,都是通过新旧知识的相互联系,利用已有的旧知识,揭示新知识的本质.建议同学们在不等式的学习中充分利用此方法。

 

一、相关概念的类比和对比

在学习不等式的相关概念时,把以下概念进行类比和对比,学习效果事半功倍。不等式与等式,不等式的解与方程的解,不等式的解集与方程的解,一元一次不等式与一元一次方程,一元一次不等式组与一元一次方程组,不等式组的解集与方程组的解,解不等式组与解方程组等。

 

二、不等式的性质与等式的性质的类比和对比
  对于等式和不等式在形式上显然有某些相似之处,于是可猜想在性质上二者也可能有某些相似之处。这是我们探索不等式性质的基本途径。
  等式有两个基本性质:
  (1)等式两边加(或减)同一个数(或式子),等号不变。
  (2)等式两边乘(或除以)同一个不等于0的数,等号不变。
  应用类比法,自然会问:不等式是否也具有相似的性质,通过实例的反复检验可得到不等式的基本性质:

1)不等式两边都加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变。

2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。

3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。

等式的基本性质是等式变形的根据,与此类似,不等式的基本性质是不等式变形的根据。不等式的性质与等式的性质类似,但等式的结论是“仍是等式”,而不等式的结论则是“不等号方向不变或改变”。通过对比会发现,在运用性质(2)和性质(3)时,要特别注意不等式的两边乘或除以同一个数时,首先应判断这个数的性质符号,从而确定不等号的方向是否改变。
  

三、不等式的解法与方程的解法的类比和对比
  采用与解一元一次方程相类似的步骤去解一元一次不等式,可求得一元一次不等式的解集。 例如,解下列方程和不等式:
   = +1              +1

解:3(2+x)=2(2x-1)+6  1、去分母:       解:3(2+x)2(2x-1)+6
   6+3x=4x-2+6   2、去括号:        6+3x4x-2+6
   3x-4x=-2+6-6    3、移项:           3x-4x-2+6-6
      -x=-2      4、合并同类项:        -x-2
       x=2      5、系数化为1:           x2
 ∴ x=2是原方程的解                 ∴ x2是原不等式的解集。                                                 

 

类比的同时还要注意对比:解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤名称虽然完全相同,但是要注意步骤1和步骤5,如果乘或除以的是负数时,解不等式时要改变不等号的方向。

实践证明,应用类比和对比的数学学习方法,掌握的知识扎实,理解也较好.大家在今后的学习中注意应用这种方法,相信一定会取得事半功倍的效果。

 

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